UECE 2012.1 — questão 40 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o módulo do campo elétrico no centro do quadrado, somando (como vetores) os campos das quatro cargas. O $e_0$ do enunciado é a permissividade do vácuo, que costuma ser escrita $\varepsilon_0$.

Passo 1 — a distância de cada carga ao centro. É meia diagonal do quadrado:

$$r = \frac{d\sqrt{2}}{2} \;\Rightarrow\; r^2 = \frac{d^2}{2}$$

Com $k = \dfrac{1}{4\pi e_0}$, o campo de uma carga Q no centro tem módulo:

$$E = \frac{kQ}{r^2} = \frac{2kQ}{d^2}$$

Como todas as cargas são positivas, cada campo aponta para longe da sua carga.

Passo 2 — quem fica de frente para quem. Percorrendo o quadrado na ordem q, 2q, 3q, 4q, as cargas opostas (nas pontas de uma mesma diagonal) são q com 3q, e 2q com 4q. Os campos de cargas opostas estão na mesma reta e em sentidos contrários, então se subtraem.

Passo 3 — diagonal de q e 3q:

$$E_1 = \frac{2k(3q - q)}{d^2} = \frac{4kq}{d^2}$$

apontando para o lado da carga q (o campo de 3q, maior, empurra para longe dela).

Passo 4 — diagonal de 2q e 4q:

$$E_2 = \frac{2k(4q - 2q)}{d^2} = \frac{4kq}{d^2}$$

apontando para o lado da carga 2q.

Passo 5 — compor. As diagonais de um quadrado são perpendiculares, então $E_1$ e $E_2$ formam um ângulo reto. Como são iguais:

$$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = \frac{4\sqrt{2}\,kq}{d^2}$$

Passo 6 — trocar k:

$$E = \frac{4\sqrt{2}}{4\pi e_0}\,\frac{q}{d^2}$$

$$E = \frac{\sqrt{2}}{\pi e_0}\,\frac{q}{d^2}$$

⚠️ A armadilha: parar numa diagonal só. Cada diagonal dá $4kq/d^2 = \dfrac{1}{\pi e_0}\dfrac{q}{d^2}$, que é a alternativa C. Mas há duas diagonais, com campos perpendiculares: falta compô-los por Pitágoras, o que multiplica por √2.

A ideia em uma frase: no centro do quadrado, cargas opostas se descontam na mesma diagonal; as duas diagonais são perpendiculares e se compõem por Pitágoras.

Resposta: alternativa B ($\frac{\sqrt{2}}{\pi e_0}\frac{q}{d^2}$).