PUC-SP 2022 (Parte B) — questão 9 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a frequência de rotação, em função de x, g e ϕ, para a bolinha girar sem subir nem descer na parede do funil.

Passo 1 — as forças na bolinha. Desprezando o atrito, agem o peso $mg$ (vertical, para baixo) e a normal N da parede, perpendicular a ela. Como a parede faz ângulo ϕ com a horizontal, a normal faz ângulo ϕ com a vertical, inclinada para o eixo.

Passo 2 — vertical: equilíbrio. A bolinha não sobe nem desce:

$$N \cos\phi = m g$$

Passo 3 — horizontal: resultante centrípeta. A componente horizontal da normal aponta para o eixo e faz o papel de força centrípeta no círculo de raio x:

$$N \sin\phi = m\,\omega^2 x$$

Passo 4 — dividir uma pela outra. A normal e a massa se cancelam:

$$\tan\phi = \frac{\omega^2 x}{g} \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{g\tan\phi}{x}}$$

Passo 5 — a frequência. Como $\omega = 2\pi f$:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g\,\tan\phi}{x}}$$

A banca escreve a mesma resposta na forma $f = \left[2\pi\sqrt{\frac{x}{g\,\text{tg}\,\phi}}\right]^{-1}$.

Conferindo: as unidades batem ($g/x$ tem unidade de $\text{s}^{-2}$, e a raiz dá $\text{s}^{-1}$). E faz sentido: quanto mais inclinada a parede (ϕ maior), maior a frequência necessária.

⚠️ A armadilha: decompor o peso ao longo da parede, como num plano inclinado, e escrever $N = mg\cos\phi$. Aqui a bolinha não está em equilíbrio: a aceleração é horizontal (centrípeta), por isso quem se equilibra é a componente vertical da normal com o peso.

A ideia em uma frase: no funil, a normal faz dois serviços: sua parte vertical segura o peso e sua parte horizontal é a força centrípeta; daí $\tan\phi = \omega^2 x/g$.

Resposta: $f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g\,\tan\phi}{x}}$.