PUC-SP 2022 (Parte B) — questão 7 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: entre todos os harmônicos que o tubo de 89 cm pode produzir, o de frequência mais alta que ainda é audível (até 20 000 Hz).

Passo 1 — os harmônicos do tubo aberto. Num tubo aberto nas duas pontas, as duas extremidades são ventres e cabem números inteiros de meios comprimentos de onda: $L = n\lambda/2$. Todos os harmônicos (n = 1, 2, 3, …) existem:

$$f_n = \frac{n\,v}{2L}$$

Passo 2 — a frequência fundamental. Com L = 0,89 m:

$$f_1 = \frac{340}{2 \cdot 0{,}89} = \frac{340}{1{,}78}$$

$$f_1 \approx 191{,}01\ \text{Hz}$$

Passo 3 — o maior harmônico audível. Precisamos do maior n inteiro com $n f_1 \le 20000$ Hz:

$$n \le \frac{20000}{191{,}01} \approx 104{,}7$$

Então n = 104 (o 105º harmônico já passaria de 20 kHz):

$$f_{104} = \frac{104 \cdot 340}{1{,}78} = \frac{35360}{1{,}78}$$

$$f_{104} \approx 19865\ \text{Hz}$$

⚠️ A armadilha: arredondar n para 105 (dá cerca de 20 056 Hz, já inaudível) ou usar a fórmula do tubo fechado, $f = n v/4L$ com n ímpar, que não vale aqui: o enunciado diz que os tubos são abertos nas duas extremidades.

A ideia em uma frase: no tubo aberto as frequências são múltiplas inteiras da fundamental $v/2L$; basta achar o maior múltiplo que não passa de 20 kHz.

Resposta: aproximadamente 19 865 Hz (o 104º harmônico do tubo de 89 cm).