PUC-SP 2012 — questão 17 de Física

Gabarito COndas — corda vibrante: harmônicos consecutivos e traçãoVestibular de Verão · Prova objetiva
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 17 de Física do PUC-SP 2012

Enunciado em texto

Um homem mantém em equilíbrio estático um bloco preso a uma corda de densidade linear igual a 0,01kg/m, conforme a figura. Determine a massa M do bloco, sabendo que as frequências de duas harmônicas consecutivas de uma onda estacionária no trecho vertical de 2m da corda correspondem a 150Hz e 175Hz.

[Figura: uma polia presa ao teto; de um lado pende o bloco M; do outro, a corda desce verticalmente até as mãos de um homem em pé, que a segura. O trecho vertical da corda entre a polia e as mãos do homem mede 2 m.]

(A) 10210^2 g

(B) 10310^3 g

(C) 10410^4 g

(D) 10510^5 g

(E) 10610^6 g

(Enunciado e figura: Vestibular PUC-SP 2012 — PUC-SP.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP).

Resolução comentada

O que a questão pede: a massa do bloco, a partir das frequências de ressonância do trecho de corda de 2 m.

Passo 1 — a frequência fundamental. Numa corda presa nas duas pontas, os harmônicos são múltiplos da fundamental: fn=n f1f_n = n\,f_1. Dois harmônicos consecutivos diferem exatamente de f1f_1:

f1=175−150=25 Hzf_1 = 175 - 150 = 25\ \text{Hz}

(150 Hz é o 6º harmônico e 175 Hz é o 7º.)

Passo 2 — a velocidade da onda. Na fundamental, o comprimento L = 2 m é meio comprimento de onda: f1=v/(2L)f_1 = v/(2L):

v=2 L f1=2×2×25=100 m/sv = 2\,L\,f_1 = 2 \times 2 \times 25 = 100\ \text{m/s}

Passo 3 — a tração (fórmula de Taylor). v=T/μv = \sqrt{T/\mu}:

T=μ v2=0,01×1002=100 NT = \mu\,v^2 = 0{,}01 \times 100^2 = 100\ \text{N}

Passo 4 — a massa. O bloco está em equilíbrio, e a polia (ideal) transmite a tração: T=M gT = M\,g. Com g = 10 m/s²:

M=10010=10 kg=104 gM = \frac{100}{10} = 10\ \text{kg} = 10^4\ \text{g}

⚠️ A armadilha: tomar 150 Hz ou 175 Hz como a fundamental. Com 150 Hz, v sairia 600 m/s e M = 360 kg, sem alternativa. Outra é esquecer que as alternativas estão em gramas: 10 kg = 10410^4 g, e não 10110^1 nem 10210^2 g.

A ideia em uma frase: a diferença entre dois harmônicos consecutivos é a fundamental; dela sai v = 2Lf₁, e de v sai a tração, T=μv2T = \mu v^2.

Resposta: alternativa C (10410^4 g, ou seja, 10 kg).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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