Humanitas 2027 — questão 38 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o quanto o raio de curvatura muda ao trocar a resina, mantendo o grau da lente. São duas substituições e uma subtração — o trabalho está em não errar a direção da mudança.

Passo 1 — isole o $R$. A relação dada é $D = \dfrac{n-1}{R}$, logo:

$$R = \frac{n-1}{D}$$

Passo 2 — as duas resinas, com $D = 8$ dioptrias fixo.

$$R_1 = \frac{1{,}48 - 1}{8} = \frac{0{,}48}{8} = 0{,}06\ \text{m} = 6\ \text{cm}$$

$$R_2 = \frac{1{,}80 - 1}{8} = \frac{0{,}80}{8} = 0{,}10\ \text{m} = 10\ \text{cm}$$

Passo 3 — a variação.

$$\Delta R = R_2 - R_1 = 10 - 6 = \mathbf{+4\ \text{cm}}$$

O raio foi acrescido em 4 cm — alternativa E.

⚠️ A armadilha do enunciado, e ela é elegante. O texto diz que o índice maior torna a lente menos espessa. É natural ler isso como "tudo diminui" e procurar uma alternativa com "reduzido" — e caem aí a (A) e a (B), que inclusive trazem o número certo, 4 cm, com o sinal errado. Mas raio grande é curvatura suave, e curvatura suave é justamente a lente FINA. Espessura e raio andam em sentidos opostos.

A geometria que explica isso em uma linha. Olhe a figura: a lente é a fatia cortada na borda de uma circunferência de raio $R$. Se $R$ cresce, a circunferência fica mais "aberta" e a fatia de mesma largura fica mais rasa. É por isso que uma lente de alto índice, com $R$ maior, é mais fina — e é por isso que óculos de grau alto feitos em policarbonato ($n \approx 1{,}59$) ou em resina de alto índice ($n$ até $1{,}74$) não têm aquele "fundo de garrafa" das lentes de vidro comum.

A leitura sem conta nenhuma. Em $R = \dfrac{n-1}{D}$, com $D$ fixo, $R$ é diretamente proporcional a $n-1$. Passando de $n-1 = 0{,}48$ para $n-1 = 0{,}80$, o fator é $0{,}80/0{,}48 = 5/3$. Como $R$ cresce por um fator maior que 1, o raio aumenta — e isso elimina (A) e (B) antes de qualquer divisão.

⚠️ A armadilha da (D), 24 cm. Sai de esquecer de converter, ou de trabalhar com $D$ errado: $0{,}80 - 0{,}48 = 0{,}32$, e $0{,}32 \times ...$ — qualquer conta que não divida por 8 em ambos os termos produz um múltiplo do valor certo. A subtração tem de vir depois das duas divisões, nunca antes.

O que é uma dioptria, para o número não ficar solto. Vergência é o inverso da distância focal em metros: $D = 1/f$. Uma lente de 8 dioptrias tem $f = 1/8 = 0{,}125$ m $= 12{,}5$ cm — é uma lente forte, de grau alto. É exatamente nesses graus que a escolha do material mais pesa na espessura, que é o assunto do enunciado.

A ideia em uma frase: com o grau fixo, $R$ é proporcional a $n-1$ — índice maior dá raio maior, curvatura mais suave e lente mais fina.

Resposta: alternativa E.