Einstein 2018 — questão 24 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: até onde o bloco sobe e quanto tempo leva para parar, em função de $v_0$, $g$, $\theta$ e $\mu$.

Passo 1 — as forças ao longo da rampa. Na subida, duas forças puxam o bloco rampa abaixo: a componente do peso paralela ao plano, $m\,g\,\text{sen}\,\theta$, e o atrito cinético, que é sempre contrário ao movimento (o bloco sobe, o atrito aponta para baixo). Perpendicularmente ao plano, a normal equilibra a outra componente do peso, $N = m\,g\cos\theta$, e o atrito vale $\mu N$:

$$F_R = m\,g\,\text{sen}\,\theta + \mu\,m\,g\cos\theta$$

Passo 2 — a desaceleração (2ª lei de Newton). Dividindo pela massa, que some:

$$a = g\,(\text{sen}\,\theta + \mu\cos\theta)$$

É uma desaceleração constante: o movimento de subida é uniformemente variado.

Passo 3 — a distância (Torricelli). O bloco para no ponto mais alto ($v = 0$):

$$0 = v_0^2 - 2\,a\,d$$

$$d = \frac{v_0^2}{2\,a}$$

$$d = \frac{v_0^2}{2\,g\,(\text{sen}\,\theta + \mu\cos\theta)}$$

Passo 4 — o tempo. Pela função da velocidade, $0 = v_0 - a\,t$:

$$t = \frac{v_0}{a}$$

$$t = \frac{v_0}{g\,(\text{sen}\,\theta + \mu\cos\theta)}$$

São exatamente as duas expressões da alternativa B.

Conferindo pelos casos-limite: sem atrito ($\mu = 0$) as fórmulas viram $d = v_0^2/(2g\,\text{sen}\,\theta)$ e $t = v_0/(g\,\text{sen}\,\theta)$, o resultado conhecido da rampa lisa; e se o plano ficar vertical ($\theta = 90°$), viram $v_0^2/(2g)$ e $v_0/g$, o lançamento vertical para cima. E pelas unidades: $v_0^2/g$ dá metro e $v_0/g$ dá segundo, como deve ser.

Por que não as outras: (A) tem $g\,v_0^2$ no numerador da distância, o que dá $\text{m}^3/\text{s}^4$, e não metro; além disso, no tempo o $g$ só multiplica o seno, faltando os parênteses. (C) e (D) põem o $\mu$ multiplicando ou dividindo tudo e trocam $\mu\cos\theta$ por $\cos\theta$; em (C) o tempo $g\,\mu\,v_0$ tem unidade de $\text{m}^2/\text{s}^3$, e em (D) a distância ficaria infinita sem atrito ($\mu = 0$), quando o certo é ela ser finita (a gravidade sozinha freia o bloco).

⚠️ A armadilha: pôr o atrito a favor do movimento na subida, ou esquecer que ele depende de $\cos\theta$ (pela normal) e não do peso inteiro. O atrito sempre se opõe ao deslizamento; na subida ele soma com a componente do peso para frear o bloco.

A ideia em uma frase: na subida, peso e atrito freiam juntos, $a = g(\text{sen}\,\theta + \mu\cos\theta)$; daí $d = v_0^2/2a$ e $t = v_0/a$.

Resposta: alternativa B ($d = v_0^2/[2g(\text{sen}\,\theta + \mu\cos\theta)]$ e $t = v_0/[g(\text{sen}\,\theta + \mu\cos\theta)]$).