Einstein 2018 — questão 22 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: onde colocar o objeto diante de um espelho de raio 20 cm para obter uma imagem igual à que a lente formou (mesmo tamanho e mesmo tipo).

Passo 1 — as características da imagem da lente. Uma lente biconvexa (de vidro, no ar) é convergente. Lente convergente só forma imagem menor que o objeto quando a imagem é real e invertida (objeto além do dobro da distância focal). A imagem tem 2,5 cm para um objeto de 10 cm, então o aumento é:

$$A = -\frac{2{,}5}{10} = -\frac{1}{4}$$

O sinal negativo indica imagem invertida. Então a imagem é real, invertida e quatro vezes menor.

Passo 2 — que espelho serve. Espelho convexo só dá imagem virtual e direita; para ter imagem real e invertida, o espelho tem de ser côncavo. Com $R = 20$ cm, a distância focal é:

$$f = \frac{R}{2} = 10\ \text{cm}$$

Passo 3 — a posição do objeto. O aumento num espelho é $A = -p'/p$. Com $A = -1/4$, a imagem fica a um quarto da distância do objeto:

$$-\frac{p'}{p} = -\frac{1}{4} \Rightarrow p' = \frac{p}{4}$$

Agora a equação dos pontos conjugados (Gauss):

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}$$

$$\frac{1}{10} = \frac{1}{p} + \frac{4}{p} = \frac{5}{p}$$

$$p = 50\ \text{cm}$$

Conferindo por outro caminho: o aumento também vale $A = f/(f - p)$. Com $p = 50$ cm: $A = 10/(10 - 50) = -1/4$. Confere. E faz sentido: o objeto está além do centro de curvatura (50 cm > 20 cm), justamente a região em que o espelho côncavo forma imagem real, invertida e menor.

Um detalhe: os 30 cm da lente não entram na conta do espelho. Eles só serviriam para achar a distância focal da lente ($p' = 7{,}5$ cm e $f = 6$ cm), que o problema não pede. O que passa da lente para o espelho é só o aumento, $-1/4$.

⚠️ A armadilha: achar que, por ser imagem menor, o espelho é convexo. Com $f = -10$ cm e imagem direita ($p' = -p/4$), a conta dá $p = 30$ cm, que nem está nas alternativas, e a imagem seria virtual e direita, ao contrário da imagem da lente. Outro tropeço é responder a distância da imagem, $p' = 50/4 = 12{,}5$ cm, em vez da do objeto.

A ideia em uma frase: “mesmas características” quer dizer mesmo aumento, $-1/4$: real, invertida e menor, o que exige espelho côncavo com o objeto além do centro de curvatura.

Resposta: alternativa C (50 cm).