Einstein 2017 (Inverno) — questão 7 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a massa M que, pendurada no sistema de polias, mantém a viga em equilíbrio com a bailarina na outra ponta.

Passo 1 — a geometria da viga. A viga vai da ponta esquerda (2 m à esquerda do apoio) até a bailarina (6 m à direita do apoio): tem 8 m. Como a massa é homogênea, o peso da viga atua no meio dela, a 4 m da ponta esquerda, ou seja, 2 m à direita do apoio.

Passo 2 — os pesos (g = 10 m/s²).

$$P_{\text{bailarina}} = 50 \cdot 10 = 500\ \text{N}$$

$$P_{\text{viga}} = 100 \cdot 10 = 1\,000\ \text{N}$$

Passo 3 — momentos em relação ao apoio. Viga parada e sem girar: a soma dos momentos em torno do apoio é zero. Calculando em torno do apoio, a força que ele faz nem entra na conta. Os dois pesos tendem a girar a viga no sentido horário; a tração T do cabo, que puxa a ponta esquerda para baixo (o cabo desce até a polia do chão), gira no sentido anti-horário:

$$T \cdot 2 = 500 \cdot 6 + 1\,000 \cdot 2$$

$$2\,T = 3\,000 + 2\,000 = 5\,000$$

$$T = 2\,500\ \text{N}$$

Passo 4 — as polias. As polias do chão e do teto são fixas: só mudam a direção do cabo, e a tração continua T. O cabo passa por baixo da primeira polia móvel e as suas duas pernas puxam essa polia para cima, cada uma com T. Como a polia tem massa desprezível, o fio preso ao eixo dela (o de baixo) tem tração $2T$. Esse segundo fio passa por baixo da segunda polia móvel, e as suas duas pernas a sustentam com $2T$ cada. Então:

$$M\,g = 2 \cdot (2\,T) = 4\,T$$

$$M \cdot 10 = 4 \cdot 2\,500 = 10\,000$$

$$M = 1\,000\ \text{kg}$$

Conferindo pela regra das polias móveis: cada polia móvel dobra a força. Com duas polias móveis em sequência, a força no cabo é $1/2^2 = 1/4$ do peso pendurado: $10\,000/4 = 2\,500$ N, exatamente a tração que a viga exige.

⚠️ A armadilha: esquecer o peso da própria viga. Aí a conta dos momentos fica $2T = 3\,000$, $T = 1\,500$ N e $M = 4 \cdot 1\,500/10 = 600$ kg, a alternativa B. Outro erro é responder a própria tração do cabo, 2 500 (que está em newtons, não é a massa), a alternativa D.

A ideia em uma frase: momentos em torno do apoio dão a tração do cabo; cada polia móvel dobra a força, então duas polias móveis sustentam quatro vezes a tração.

Resposta: alternativa C (1 000 kg).