UFLA 2022 (PAS, 1ª etapa, novembro) — questão 12 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: de que alturas as bolas 2 e 3 foram soltas, sabendo que deixaram marcas 4 e 9 vezes mais fundas que a bola 1.

Passo 1 — a profundidade segue o $v^2$. O enunciado diz que a profundidade é proporcional ao quadrado da velocidade de impacto:

$$p \propto v^2$$

Passo 2 — o $v^2$ segue a altura. Na queda livre a partir do repouso, a energia potencial vira cinética:

$$m\,g\,h = \frac{m\,v^2}{2}$$

$$v^2 = 2\,g\,h \ \Rightarrow\ v^2 \propto h$$

Passo 3 — juntando. Se $p \propto v^2$ e $v^2 \propto h$, então a profundidade é diretamente proporcional à altura. Marca 4 vezes mais funda pede altura 4 vezes maior; marca 9 vezes mais funda, altura 9 vezes maior:

$$h_2 = 4h_1 \quad \text{e} \quad h_3 = 9h_1$$

Conferindo: com $h_2 = 4h_1$, a velocidade é $v_2 = \sqrt{2g \cdot 4h_1} = 2v_1$: velocidade dobrada, marca 4 vezes mais funda, exatamente o que o enunciado descreve. Com $h_3 = 9h_1$, $v_3 = 3v_1$ e $p_3 = 9p_1$.

Por que isso importava: a marca na argila mede a energia que a bola entrega ao parar. Como essa energia cresceu com $v^2$ (e não com $v$), o experimento apoiou a ideia de que a energia cinética é proporcional ao quadrado da velocidade, $mv^2/2$.

⚠️ A armadilha: pensar que a altura acompanha a velocidade ($h \propto v$) e concluir que a marca 4 vezes mais funda (velocidade dobrada) vem de altura dobrada: isso dá $h_2 = 2h_1$ e $h_3 = 3h_1$, alternativa B. Mas a altura é proporcional a $v^2$, não a $v$. A alternativa C troca as posições de 4 e 9.

A ideia em uma frase: a altura de queda e a profundidade da marca são ambas proporcionais a $v^2$; logo, são proporcionais entre si.

Resposta: alternativa D ($h_2 = 4h_1$ e $h_3 = 9h_1$).