UFJF 2022 (PISM, Módulo III) — questão 1 de Física

Gabarito DFísica moderna — dilatação do tempo na relatividade restritaPISM 2022 · Módulo III · 2º dia · Questões objetivas
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 1 de Física do UFJF 2022 (PISM, Módulo III)

Enunciado em texto

Um observador S′S' dentro de um vagão, que está se deslocando com velocidade vv constante para a direita em relação a um observador SS que se encontra fora do trem e em repouso em relação à Terra, observa a queda livre de uma esfera que estava inicialmente presa no teto do vagão a uma altura HH do piso do vagão (ver desenho abaixo). Como é de se esperar, a trajetória vista pelo observador S′S' que está em repouso em relação ao vagão, é uma linha vertical que vai desde o teto até o piso do vagão e o tempo de queda é igual a (2gH)1/2(2gH)^{1/2}. Considerando a Terra como sendo um referencial inercial, e comparando vv com a velocidade cc da luz no vácuo, podemos afirmar que o tempo de queda medido pelo observador em SS será:

[Figura: à esquerda, o observador S, em pé sobre o chão, parado. À direita, sobre trilhos, o vagão aparece em duas posições: primeiro tracejado (posição anterior), com o observador S' dentro e a esfera (círculo tracejado) presa ao teto, com uma seta vertical para baixo e a altura H marcada entre o teto e o piso; depois, mais à direita, em traço cheio, com S' dentro e a esfera já no piso, ao fim de uma linha tracejada vertical, e a altura H marcada ao lado. Entre as duas posições, uma seta para a direita com o rótulo v⃗\vec{v}.]

A) igual ao tempo de queda medido por S′S' e esse fato independe da magnitude da velocidade vv do vagão.

B) maior que o tempo de queda medido por S′S' porque a trajetória vista pelo observador SS é uma parábola.

C) menor que o tempo de queda medido por S′S' se a razão v/cv/c é muito menor que 1.

D) maior que o tempo de queda medido por S′S' se a razão v/cv/c é muito próxima de 1.

E) menor que o tempo de queda medido por S′S' se a razão v/cv/c é muito próxima de 1.

(Enunciado e figura: PISM 2022 (UFJF), Módulo III, 2º dia — Universidade Federal de Juiz de Fora (COPESE).)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF) e à sua Coordenação Geral de Processos Seletivos (COPESE).

Resolução comentada

O que a questão pede: comparar o tempo de queda medido pelo observador SS, de fora, com o medido por S′S', dentro do vagão, levando em conta a relatividade.

Passo 1 — quem mede o tempo próprio. Para S′S', a esfera sai do teto e chega ao piso no mesmo lugar do vagão: os dois eventos (largar e tocar o piso) acontecem na mesma posição do referencial dele. O intervalo medido por quem vê os dois eventos no mesmo lugar é o tempo próprio Δt0\Delta t_0, o menor intervalo possível entre esses eventos.

Passo 2 — a dilatação do tempo. Para SS, os dois eventos acontecem em lugares diferentes (o vagão andou para a direita). Pela relatividade restrita, ele mede um intervalo maior:

Δt=γ Δt0\Delta t = \gamma\,\Delta t_0

γ=11−v2/c2≥1\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1

Passo 3 — quando isso aparece. Se v/cv/c é muito menor que 1 (um trem real), γ\gamma é praticamente 1 e os dois tempos são, na prática, iguais. Se v/cv/c é próximo de 1, γ\gamma fica grande e SS mede um tempo de queda bem maior que S′S'. Alternativa D.

Conferindo com um número: para v=0,8 cv = 0{,}8\,c, γ=1/1−0,64=1/0,6≈1,67\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}64} = 1/0{,}6 \approx 1{,}67: o tempo medido por SS é cerca de 67% maior.

Por que não as outras: A é a visão clássica (tempo absoluto), que só vale de forma aproximada para v≪cv \ll c e falha quando vv se aproxima de cc. B atribui a diferença à forma parabólica da trajetória; na física clássica, a parábola vista de fora tem a mesma duração da queda vertical vista de dentro, e o efeito real é a dilatação do tempo. C e E dizem “menor”, mas o tempo próprio é sempre o menor; quem está fora nunca mede menos.

Um detalhe do enunciado: o tempo de queda escrito no caderno, (2gH)1/2(2gH)^{1/2}, não tem unidade de tempo (tem unidade de velocidade). O correto, para quem parte do repouso, é 2H/g\sqrt{2H/g}, que sai de H=gt2/2H = g t^2/2. Isso não muda a resposta, que só compara os dois tempos.

⚠️ A armadilha: a alternativa E, achando que quem “vê o vagão passar” vê tudo acontecer mais depressa. É o contrário: os relógios em movimento em relação a SS atrasam, e ele vê o processo durar mais.

A ideia em uma frase: o tempo próprio é medido por quem vê os dois eventos no mesmo lugar; qualquer outro observador inercial mede um intervalo maior, e a diferença só fica notável com vv próximo de cc.

Resposta: alternativa D (maior, se v/cv/c é muito próximo de 1).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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