UEM 2018 (Inverno) — questão 31 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: montar o ciclo, calcular trabalho, calor absorvido e temperaturas.

Passo 1 — os vértices. No sentido horário, partindo de A (canto inferior esquerdo), o ciclo sobe primeiro: $A(V_0, P_0)$, $B(V_0, 2P_0)$, $C(2V_0, 2P_0)$, $D(2V_0, P_0)$.

Passo 2 — temperaturas ($T = pV/R$, com $n = 1$). Chamando $T_A = P_0V_0/R$: $T_B = T_D = 2T_A$ e $T_C = 4T_A$.

Passo 3 — trabalho e calor absorvido. O trabalho é a área do retângulo, $W = P_0V_0$. O gás recebe calor em AB (isocórica, aquecendo) e em BC (isobárica, expandindo). Hélio é monoatômico: $C_V = \frac{3}{2}R$, $C_P = \frac{5}{2}R$.

$$Q_{AB} = \tfrac{3}{2}R\,(2T_A - T_A)$$

$$Q_{AB} = \tfrac{3}{2}P_0V_0$$

$$Q_{BC} = \tfrac{5}{2}R\,(4T_A - 2T_A)$$

$$Q_{BC} = 5P_0V_0$$

Total recebido: $6{,}5\,P_0V_0$.

(01) Falsa. O hélio é um gás nobre monoatômico (He), e bem menos denso que o ar (por isso enche balões que sobem). Incolor e inodoro, sim.

(02) Verdadeira.

$$\eta = \frac{W}{Q_{abs}} = \frac{P_0V_0}{6{,}5\,P_0V_0}$$

$$\eta = \frac{1}{6{,}5} = \frac{2}{13}$$

(04) Verdadeira. Temperaturas extremas: $T_C = 4T_A$ e $T_A$.

$$\eta_C = 1 - \frac{T_A}{4T_A} = \frac{3}{4}$$

(08) Falsa. B e D têm a mesma temperatura, $2T_A$, então uma isoterma passa pelos dois; mas $2T_A$ é a metade da maior temperatura ($4T_A$), não 3/2 dela.

(16) Falsa. Na adiabática do hélio, $pV^{5/3} = \text{cte}$. Saindo de B:

$$p = 2P_0\left(\frac{V_0}{2V_0}\right)^{5/3}$$

$$p = 2^{-2/3}P_0$$

Isso dá cerca de $0{,}63\,P_0$, menor que $P_0$.

⚠️ A armadilha: na (02), dividir o trabalho pelo calor de um só trecho, ou somar também os calores cedidos (CD e DA). O rendimento usa só o calor absorvido.

A ideia em uma frase: rendimento = trabalho (área do ciclo) ÷ calor absorvido; e nenhuma máquina real chega ao rendimento de Carnot entre as mesmas temperaturas (2/13 < 3/4).

Resposta: soma 06 (02 + 04).