PUC-SP 2021 (Parte B) — questão 9 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o valor de R que faz a potência total dissipada ser a mesma com a chave em 1 e com a chave em 2.

Atenção: a figura não marca pontos de junção nos dois cruzamentos de fios. Se eles fossem só cruzamentos, sem contato, com a chave em 2 o resistor R ficaria num laço sem bateria e a potência nunca seria igual nas duas posições. A resposta oficial (1,27 Ω) corresponde a considerar os dois cruzamentos como ligações, e é assim que resolvemos.

Passo 1 — os nós do circuito. Chame de L o nó do lado esquerdo dos resistores de 4Ω (topo do 2Ω vertical, ligado ao contato 2) e de X o fio vertical da direita (ligado ao lado direito dos dois 4Ω, à ponta direita de R e a um polo de cada bateria). Os dois resistores de 4Ω ficam em paralelo entre L e X, valendo 2Ω juntos.

Passo 2 — o circuito de 10V (igual nas duas posições, sem R). A bateria de 10V alimenta o 2Ω vertical em série com o paralelo dos dois 4Ω:

$$R_{eq} = 2 + 2 = 4\ \Omega$$

$$P_{10} = \frac{U^2}{R_{eq}} = \frac{10^2}{4} = 25\ \text{W}$$

Passo 3 — chave na posição 1. Fecha-se o laço da bateria de 6V com o 2Ω de cima e R em série. Esse laço só toca o resto do circuito no nó X, então não troca corrente com o circuito de 10V, e as potências se somam:

$$P_1 = 25 + \frac{6^2}{2 + R} = 25 + \frac{36}{2 + R}$$

Passo 4 — chave na posição 2. O laço de 6V fica aberto. Agora R liga L a X: fica em paralelo com os dois 4Ω (ou seja, com 2Ω). A bateria de 10V vê:

$$R_{eq} = 2 + \frac{2R}{2 + R}$$

$$R_{eq} = \frac{4(1 + R)}{2 + R}$$

$$P_2 = \frac{100}{R_{eq}} = \frac{25\,(2 + R)}{1 + R}$$

Passo 5 — igualar as potências. Note que $\frac{25(2+R)}{1+R} = 25 + \frac{25}{1+R}$. Então:

$$25 + \frac{36}{2 + R} = 25 + \frac{25}{1 + R}$$

$$36\,(1 + R) = 25\,(2 + R)$$

$$11R = 14 \Rightarrow R = \frac{14}{11}\ \Omega$$

$$R \approx 1{,}27\ \Omega$$

Conferindo: com $R = 14/11$ Ω, na posição 1: $36/(36/11) = 11$ W, total $25 + 11 = 36$ W. Na posição 2: $2 \parallel R = 7/9$ Ω, $R_{eq} = 25/9$ Ω e $P_2 = 100 \cdot 9/25 = 36$ W. Iguais.

⚠️ A armadilha: esquecer que, na posição 1, o circuito de 10V continua funcionando: a potência total é a soma das duas baterias, não só a do laço de 6V.

A ideia em uma frase: em 1, R entra em série num laço próprio de 6V; em 2, R vira paralelo no circuito de 10V; igualando as potências totais sai $R = 14/11$ Ω.

Resposta: $R = 14/11\ \Omega \approx 1{,}27\ \Omega$.