PUC-SP 2013 (inverno) — questão 20 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: até que fração da altura inicial a esfera M sobe de volta pela rampa depois de bater na esfera mais pesada.

Passo 1 — a velocidade antes do choque. Sem atrito, a energia se conserva na descida:

$$v_0 = \sqrt{2\,g\,h}$$

Passo 2 — a colisão elástica. Conservam-se a quantidade de movimento e a energia cinética. Para um corpo de massa $m_1$ que bate num corpo parado de massa $m_2$, a velocidade de $m_1$ depois do choque é:

$$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_0$$

$$v_1 = \frac{M - 1{,}5M}{M + 1{,}5M}\,v_0 = -0{,}2\,v_0$$

O sinal negativo indica que a esfera M volta, com 20% da velocidade, e sobe de novo a rampa.

Passo 3 — a nova altura. Na subida, de novo sem atrito, $h' = v_1^2/(2g)$. A altura é proporcional ao quadrado da velocidade:

$$\frac{h'}{h} = \left(\frac{v_1}{v_0}\right)^2 = 0{,}2^2 = 0{,}04$$

Ou seja, 4%.

Conferindo pelos dois princípios: com $v_0 = 1$: momento antes $= M$; depois, $M(-0{,}2) + 1{,}5M(0{,}8) = M$. Energia antes $= M/2$; depois, $M(0{,}04)/2 + 1{,}5M(0{,}64)/2 = 0{,}5M$. Confere.

⚠️ A armadilha: parar na razão de velocidades, 0,2, e marcar 20% (não existe) ou achar que a altura cai na mesma proporção que a velocidade. A energia potencial vem da energia cinética, que depende de $v^2$: 0,2 na velocidade vira 0,04 na altura.

A ideia em uma frase: na colisão elástica com um corpo parado mais pesado, o corpo leve volta com $(m_1 - m_2)/(m_1 + m_2)$ da velocidade; a altura alcançada vai com o quadrado disso.

Resposta: alternativa D (4%).