FAMERP 2015 — questão 36 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: quanto aumenta o raio do furo, sabendo quanto aumentou o raio externo.

Passo 1 — o furo dilata como se fosse feito do metal. Quando a peça inteira é aquecida por igual, todas as suas medidas lineares aumentam na mesma proporção, como numa ampliação de foto. O furo não encolhe: ele cresce exatamente como cresceria um disco do mesmo metal que o preenchesse. Então os dois raios seguem a dilatação linear com o mesmo coeficiente α:

$$\Delta R = R\,\alpha\,\Delta\theta$$

$$\Delta r = r\,\alpha\,\Delta\theta$$

Passo 2 — dividir uma pela outra. O produto $\alpha\,\Delta\theta$ é o mesmo nas duas e se cancela:

$$\frac{\Delta r}{\Delta R} = \frac{r}{R} \;\Rightarrow\; \Delta r = \frac{r}{R}\cdot\Delta R$$

Conferindo: como r < R, o furo cresce menos que a borda externa. Então a largura do anel, $R - r$, também aumenta, de $\Delta R - \Delta r = (R - r)\,\alpha\,\Delta\theta$, que é justamente a dilatação linear dessa largura. Tudo cresce na mesma proporção.

Por que não as outras: (A) e (B) multiplicam um comprimento por outro comprimento, o que dá área, não comprimento: estão erradas até na unidade. (D) faria os dois raios crescerem igualmente, e a largura do anel não dilataria. (E) faria o furo crescer mais que a borda externa, sendo menor que ela.

⚠️ A armadilha: achar que o furo diminui (o metal “invadiria” o buraco) ou que os dois raios crescem o mesmo tanto (alternativa D). O que vale é a regra da ampliação: cada medida aumenta proporcionalmente ao seu tamanho inicial.

A ideia em uma frase: aquecida por igual, a peça se amplia como uma foto: o furo cresce, na mesma proporção que o resto.

Resposta: alternativa C ($\frac{r}{R} \cdot \Delta R$).