ENEM 2015 PPL — questão 63 de Física

Gabarito DGravitação — massa do corpo central a partir da órbita (3ª lei de Kepler)1º dia · Reaplicação/PPL · Caderno 1 (Azul)

Enunciado da questão 63 de Física do ENEM 2015 PPL — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Observações astronômicas indicam que no centro de nossa galáxia, a Via Láctea, provavelmente exista um buraco negro cuja massa é igual a milhares de vezes a massa do Sol. Uma técnica simples para estimar a massa desse buraco negro consiste em observar algum objeto que orbite ao seu redor e medir o período de uma rotação completa, T, bem como o raio médio, R, da órbita do objeto, que supostamente se desloca, com boa aproximação, em movimento circular uniforme. Nessa situação, considere que a força resultante, devido ao movimento circular, é igual, em magnitude, à força gravitacional que o buraco negro exerce sobre o objeto.

A partir do conhecimento do período de rotação, da distância média e da constante gravitacional, G, a massa do buraco negro é

a) $\dfrac{4\pi^2R^2}{GT^2}$ .

b) $\dfrac{\pi^2R^3}{2GT^2}$ .

c) $\dfrac{2\pi^2R^3}{GT^2}$ .

d) $\dfrac{4\pi^2R^3}{GT^2}$ .

e) $\dfrac{\pi^2R^5}{GT^2}$ .

(Enunciado: ENEM 2015 PPL (2ª aplicação), Caderno 1 – Azul — INEP.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao ENEM.

Resolução comentada

O que a questão pede: a massa M do buraco negro em função de R, T e G.

Passo 1 — a gravidade é a resultante centrípeta. Para o objeto de massa m em órbita circular:

$\frac{G\,M\,m}{R^2} = m\,\omega^2 R$

Passo 2 — a velocidade angular a partir do período:

$\omega = \frac{2\pi}{T} \;\Rightarrow\; \omega^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}$

Passo 3 — isolar M (a massa m do objeto se cancela):

$\frac{G\,M}{R^2} = \frac{4\pi^2}{T^2}\,R$

$M = \frac{4\pi^2 R^3}{G\,T^2}$

Conferindo: é a 3ª lei de Kepler, $T^2/R^3$ constante para um mesmo corpo central. A massa tem de crescer com $R^3$ — o que já elimina (A) e (E).

⚠️ A armadilha: errar a potência de R ao passar o $R^2$ da gravitação para o outro lado: aparece $R^2$ (alternativa A) em vez de $R^3$ . Também é comum esquecer o quadrado do $2\pi$ e ficar com $2\pi^2$ (alternativa C).

A ideia em uma frase: igualando gravitação e força centrípeta, a massa do corpo central sai de M = 4π²R³/(GT²).

Resposta: alternativa D ( $M = 4\pi^2R^3/GT^2$ ).

Vídeo em breve

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