UNESP 2019 (2ª fase) — questão 20 de Física

DiscursivaOndas — ondas estacionárias numa corda tracionada por uma esfera imersa na água2ª fase · Conhecimentos Específicos · Física (discursiva)

Enunciado da questão 20 de Física do UNESP 2019 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Uma corda elástica, de densidade linear constante μ = 0,125 kg/m, tem uma de suas extremidades presa a um vibrador que oscila com frequência constante. Essa corda passa por uma polia, cujo ponto superior do sulco alinha-se horizontalmente com o vibrador, e, na outra extremidade, suspende uma esfera de massa 1,8 kg, em repouso. A configuração da oscilação da corda é mostrada pela figura 1.

(Figura 1: a corda vai do vibrador, à esquerda, até o alto da polia, à direita, num trecho horizontal de 2,4 m; nesse trecho ela forma uma onda estacionária com 2 fusos (ventres). Depois da polia, a corda desce na vertical e sustenta a esfera no ar.)

Em seguida, mantendo-se a mesma frequência de oscilação constante no vibrador, a esfera é totalmente imersa em um recipiente contendo água, e a configuração da oscilação na corda se altera, conforme figura 2.

(Figura 2: a mesma montagem, com o mesmo trecho horizontal de 2,4 m, agora com 6 fusos (ventres) na onda estacionária; a esfera pendurada está totalmente mergulhada na água de um recipiente.)

Adotando g = 10 m/s² e sabendo que a velocidade de propagação de uma onda em uma corda de densidade linear μ, submetida a uma tração T, é dada por $v = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$ , calcule:

a) a frequência de oscilação, em Hz, do vibrador.

b) a intensidade do empuxo, em N, exercido pela água sobre a esfera, na situação da figura 2.

(Enunciado e figura: Vestibular Unesp 2019, 2ª fase — Unesp/Vunesp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade Estadual Paulista (Unesp) e à Fundação VUNESP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a frequência do vibrador; (b) o empuxo da água sobre a esfera, que muda a tração e, por isso, o número de fusos.

Item (a) — a tração. Na figura 1 a esfera está em repouso no ar: a tração na corda é igual ao peso dela.

$T_1 = m g = 1{,}8 \times 10 = 18\ \text{N}$

$v_1 = \sqrt{\frac{18}{0{,}125}} = \sqrt{144}$

$v_1 = 12\ \text{m/s}$

Item (a) — o comprimento de onda. Numa onda estacionária, cada fuso mede meio comprimento de onda. Na figura 1 há 2 fusos em 2,4 m, então:

$2 \cdot \frac{\lambda_1}{2} = 2{,}4 \Rightarrow \lambda_1 = 2{,}4\ \text{m}$

$f = \frac{v_1}{\lambda_1} = \frac{12}{2{,}4} = 5{,}0\ \text{Hz}$

Item (b) — o novo comprimento de onda. A frequência é a mesma (é a do vibrador). Na figura 2 há 6 fusos nos mesmos 2,4 m:

$6 \cdot \frac{\lambda_2}{2} = 2{,}4 \Rightarrow \lambda_2 = 0{,}80\ \text{m}$

$v_2 = f \lambda_2 = 5{,}0 \times 0{,}80 = 4{,}0\ \text{m/s}$

Item (b) — a nova tração. De $v = \sqrt{T/\mu}$ , a tração é $T = \mu v^2$ :

$T_2 = 0{,}125 \times 4{,}0^2 = 2{,}0\ \text{N}$

Item (b) — o empuxo. A esfera continua em repouso, agora com três forças: peso (para baixo), tração e empuxo (para cima):

$E + T_2 = P$

$E = 18 - 2{,}0 = 16\ \text{N}$

Conferindo: a velocidade caiu para 1/3 (de 12 para 4 m/s), então a tração caiu para 1/9 (de 18 para 2 N), já que $T \propto v^2$ . E a esfera faz sentido: empuxo de 16 N corresponde a um volume de $1{,}6 \times 10^{-3}$ m³, o que dá densidade de cerca de 1 125 kg/m³, maior que a da água; por isso ela fica pendurada e não boia.

⚠️ A armadilha: tomar cada fuso como um comprimento de onda inteiro. Aí $\lambda_1 = 1{,}2$ m e a frequência sai 10 Hz, o dobro da certa. Repare que, no item (b), esse erro some (as duas velocidades mudam na mesma proporção), mas o item (a) já estaria perdido.

A ideia em uma frase: mesma frequência, mais fusos significa onda mais lenta; onda mais lenta significa corda menos esticada, e a tração que sumiu é o empuxo.

Resposta: (a) $f = 5{,}0$ Hz; (b) $E = 16$ N.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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