UFU 2016-2 — questão 15 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a densidade média da Terra, usando a gravidade na superfície, a constante G e o raio.

Passo 1 — g em função da massa. Na superfície, o peso de um corpo é a força gravitacional da Terra sobre ele:

$$m g = \frac{G M m}{R^2} \Rightarrow g = \frac{G M}{R^2}$$

Passo 2 — massa em função da densidade. Para uma esfera de densidade média $\rho$:

$$M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$$

Substituindo em $g$, um dos $R$ sobra no numerador:

$$g = \frac{4}{3}\pi G \rho R$$

$$\rho = \frac{3g}{4\pi G R}$$

Passo 3 — os números, com $R = 6\,300\ \text{km} = 6{,}3 \times 10^{6}\ \text{m}$:

$$4 \pi G R = 12 \cdot 6{,}6 \times 10^{-11} \cdot 6{,}3 \times 10^{6}$$

$$4 \pi G R \approx 4{,}99 \times 10^{-3}$$

$$\rho = \frac{30}{4{,}99 \times 10^{-3}} \approx 6{,}0 \times 10^{3}\ \text{kg/m}^3$$

O valor que dá com os dados é cerca de 6,0 × 10³ kg/m³. As quatro alternativas têm a mesma mantissa 5,9 e só diferem na potência de dez; a única com 10³ é a (B). (A densidade média real da Terra é cerca de 5,5 × 10³ kg/m³; os arredondamentos de g e de π explicam a diferença.)

Uma observação sobre o enunciado: o experimento de Cavendish é de 1798, ou seja, do século XVIII, e não do século XIV como está impresso. Isso não muda a conta.

⚠️ A armadilha: usar o raio em km (6 300) sem converter para metros. A densidade fica mil vezes maior, 6,0 × 10⁶, e leva à alternativa A.

A ideia em uma frase: conhecendo g, G e o raio, a gravitação de Newton dá a massa e, portanto, a densidade da Terra: cerca de seis vezes a da água.

Resposta: alternativa B ($\approx 6 \times 10^{3}\ \text{kg/m}^3$).