UEM 2013 (Verão) — questão 39 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: achar centros de massa de triângulos e da chapa trapezoidal ABCD (homogênea).

(01) Verdadeira. Numa placa triangular homogênea, o centro de massa é o baricentro, média das coordenadas dos vértices:

$$G_{ABC} = \left(\frac{0+1+2}{3}, \frac{0+1+1}{3}\right)$$

$$G_{ABC} = \left(1, \frac{2}{3}\right)$$

$$G_{ACD} = \left(\frac{0+2+3}{3}, \frac{0+1+0}{3}\right)$$

$$G_{ACD} = \left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)$$

(02) Verdadeira. Com densidade homogênea, massa é proporcional à área. ABC tem base BC = 1 (em y = 1) e altura 1 (até A): área 1/2. ACD tem base AD = 3 (no eixo x) e altura 1 (até C): área 3/2. A razão é 3.

(04) Verdadeira. A chapa é um trapézio isósceles: A(0,0) ↔ D(3,0) e B(1,1) ↔ C(2,1) são simétricos em relação a $x = 3/2$. Numa chapa homogênea, o centro de massa fica sobre qualquer eixo de simetria. Conferindo com os triângulos:

$$x_{CM} = \frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot \frac{5}{3}}{1 + 3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

(08) Falsa. Isso só vale em casos especiais (paralelogramos, por exemplo). Aqui as diagonais AC e BD se cruzam em $(3/2,\ 3/4)$, enquanto o centro de massa está em $(3/2,\ 5/12)$:

$$y_{CM} = \frac{1 \cdot \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3}}{4} = \frac{5}{12}$$

(16) Falsa. O centro de massa da união é a média dos centros ponderada pelas massas. Só é o ponto médio quando as duas partes têm a mesma massa (aqui, ACD pesa o triplo, e o centro fica mais perto de $G_{ACD}$).

⚠️ A armadilha: a (16), tirar a média simples dos centros de massa. Isso daria $y = 1/2$, e não $5/12$.

A ideia em uma frase: o centro de massa de partes é a média dos centros ponderada pelas massas, e fica sobre qualquer eixo de simetria da peça homogênea.

Resposta: soma 07 (01 + 02 + 04).