Santa Casa 2024 — questão 64 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o período de Netuno, em anos terrestres, sabendo que sua órbita tem raio 30 vezes o da Terra.

Passo 1 — montar a proporção. Se $T \propto R^{3/2}$, a constante de proporcionalidade é a mesma para todos os planetas do Sol e se cancela na razão:

$$\frac{T_N}{T_T} = \left(\frac{R_N}{R_T}\right)^{3/2} = 30^{3/2}$$

Passo 2 — a conta. Elevar a 3/2 é elevar ao cubo e tirar a raiz quadrada, ou multiplicar o número pela sua raiz:

$$30^{3/2} = 30\sqrt{30} \approx 30 \times 5{,}5$$

$$30^{3/2} \approx 165$$

Como o período da Terra é 1 ano, Netuno leva cerca de 160 anos terrestres para dar uma volta. (O valor real é cerca de 165 anos.)

⚠️ A armadilha: inverter o expoente e usar $R^{2/3}$: $30^{2/3} \approx 9{,}7$, ou seja, cerca de 10 anos, a alternativa A. Planeta mais distante tem período muito maior: o período cresce mais depressa que o raio, por isso o expoente é maior que 1.

A ideia em uma frase: pela terceira lei de Kepler, a razão dos períodos é a razão dos raios elevada a 3/2 (ou T² ∝ R³).

Resposta: alternativa C (160 anos terrestres).