PUC-PR 2017 — questão 37 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o ângulo de inclinação da curva para que o carro a faça sem precisar de atrito.

Passo 1 — as forças. Sem atrito, agem no carro só o peso (vertical) e a normal (perpendicular à pista, inclinada de θ em relação à vertical). A componente vertical da normal equilibra o peso, e a horizontal faz o papel de força centrípeta:

$$N\cos\theta = m\,g \qquad N\,\text{sen}\,\theta = \frac{m\,v^2}{R}$$

Dividindo uma pela outra:

$$\text{tg}\,\theta = \frac{v^2}{R\,g}$$

Passo 2 — os números. Em m/s, $72\sqrt{3}/3{,}6 = 20\sqrt{3}$ m/s, e $v^2 = 400 \times 3 = 1200$ m²/s². Com $R\,g = 60\sqrt{3} \times 10 = 600\sqrt{3}$:

$$\text{tg}\,\theta = \frac{1200}{600\sqrt{3}}$$

$$\text{tg}\,\theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}15$$

Passo 3 — de onde vem o gabarito oficial. O gabarito oficial é a alternativa B, 30°. Os dados foram escolhidos para produzir uma razão “de 30°”: invertendo a fração acima, sai exatamente o cosseno de 30°:

$$\frac{R\,g}{v^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30^{\circ}$$

Ou seja, $2/\sqrt{3}$ é $1/\cos 30^{\circ}$ (a secante de 30°). É por essa coincidência que a resposta da banca é 30°.

Atenção: pela física, a razão $v^2/(Rg)$ é a tangente do ângulo, e não a secante (nem $Rg/v^2$ é o cosseno). Com tg θ = 2/√3 ≈ 1,15, a inclinação correta é cerca de 49°, valor que não está em nenhuma alternativa (a mais próxima seria 45°). Para a pista ter 30°, com tg 30° ≈ 0,58, o carro teria de fazer a curva a cerca de 88 km/h ($v^2 = 600$ m²/s²), e não a $72\sqrt{3} \approx 125$ km/h. Publicamos o gabarito oficial, B, mas registramos que, com os dados do enunciado, a física leva a cerca de 49°.

⚠️ A armadilha: esquecer de passar a velocidade para m/s: com 72√3 “m/s”, a tangente passaria de 14 e o ângulo ficaria perto de 86°.

A ideia em uma frase: numa curva inclinada sem atrito, a normal faz sozinha o papel de centrípeta, e tg θ = v²/(Rg).

Resposta: alternativa B (30°, gabarito oficial; pela física, θ ≈ 49°).