FCM-MG 2019 — questão 42 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o módulo do campo de $Q_2$ em P para que as componentes horizontais dos dois campos se cancelem.

Passo 1 — as posições. Chame de a o lado do quadrado menor. Em relação a P, $Q_1$ está a $a/2$ para a esquerda e $a$ para cima; $Q_2$ está a $3a/2$ para a direita e $a$ para cima. As distâncias:

$$d_1 = \sqrt{(a/2)^2 + a^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}\,a$$

$$d_2 = \sqrt{(3a/2)^2 + a^2} = \frac{\sqrt{13}}{2}\,a$$

Passo 2 — as componentes horizontais. As cargas têm o mesmo sinal: os dois campos apontam ambos para longe das cargas (ou ambos para perto). Então $E_1$ tem componente horizontal para a direita e $E_2$, para a esquerda (ou o contrário). A componente horizontal de cada campo é o módulo vezes o cosseno do ângulo com a horizontal:

$$E_{1x} = E \cdot \frac{a/2}{d_1} = \frac{E}{\sqrt{5}}$$

$$E_{2x} = E_2 \cdot \frac{3a/2}{d_2} = \frac{3E_2}{\sqrt{13}}$$

Passo 3 — resultante vertical. As componentes horizontais têm de se anular:

$$\frac{3E_2}{\sqrt{13}} = \frac{E}{\sqrt{5}}$$

$$E_2 = \frac{\sqrt{13}}{3\sqrt{5}}\,E \approx 0{,}54\,E$$

O valor mais próximo entre as alternativas é E/2.

Atenção: a conta exata dá $E_2 \approx 0{,}54E$, e não exatamente E/2; o enunciado não diz “aproximadamente”. Mesmo assim, só E/2 é compatível com a geometria: E/3 ($\approx 0{,}33E$) deixaria a componente horizontal de $Q_1$ sobrando, e 2E ou 3E fariam a de $Q_2$ dominar.

⚠️ A armadilha: igualar os módulos dos campos, ou usar só as distâncias horizontais (a/2 e 3a/2), o que sugere E/3. O que tem de se cancelar são as componentes horizontais, e cada uma depende do ângulo do campo com a horizontal.

A ideia em uma frase: para a resultante ser vertical, decomponha cada campo e anule as componentes horizontais.

Resposta: alternativa C (E/2).