UNESP 2020 (2ª fase) — questão 19 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o diagrama de forças na haste e a tração no fio vertical (figura 1); (b) a força que a articulação A faz na haste quando o fio é inclinado (figura 2).

Item (a) — onde age o peso da placa. Pela figura, a placa (4 m) termina alinhada com a ponta da haste (6 m); então ela ocupa o trecho de 2 m a 6 m, medido a partir de A. Considerando a placa homogênea, o peso dela age no meio da placa, a 4 m de A:

$$P = m g = 30 \times 10 = 300\ \text{N}$$

Item (a) — o desenho. Na haste atuam três forças: em A, a força da articulação $\vec{F}_A$; a 4 m de A, o peso da placa $\vec{P}$, para baixo; na ponta (6 m), a tração $\vec{T}$ do fio, vertical, para cima. Como $\vec{P}$ e $\vec{T}$ são verticais, $\vec{F}_A$ também é vertical, para cima. (A banca exigiu que a força em A aparecesse no desenho.)

Item (a) — momentos em relação a A. Em equilíbrio, a soma dos momentos é zero. Escolhendo A como polo, a força da articulação some da conta:

$$T \cdot 6 = P \cdot 4$$

$$T = \frac{300 \times 4}{6} = 200\ \text{N}$$

E, pela soma das forças verticais, $F_A = 300 - 200 = 100$ N, para cima.

Item (b) — a nova tração. Agora o fio faz 30° com a haste. Só a componente vertical da tração, $T\, \text{sen}\, 30^{\circ}$, gira a haste em torno de A (a horizontal passa pela linha da haste e tem braço zero):

$$T\, \text{sen}\, 30^{\circ} \cdot 6 = 300 \cdot 4$$

$$T \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 = 1200 \Rightarrow T = 400\ \text{N}$$

Item (b) — as componentes da força em A. A tração puxa a ponta da haste para cima e em direção à parede. Para o equilíbrio, a articulação empurra a haste para fora da parede (horizontal) e a sustenta (vertical):

$$F_x = T\cos 30^{\circ} = 400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$F_x = 200\sqrt{3}\ \text{N}$$

$$F_y = P - T\, \text{sen}\, 30^{\circ}$$

$$F_y = 300 - 200 = 100\ \text{N}$$

Item (b) — o módulo. As componentes são perpendiculares, então vale Pitágoras:

$$F_A = \sqrt{(200\sqrt{3})^2 + 100^2}$$

$$F_A = \sqrt{120\,000 + 10\,000}$$

$$F_A = 100\sqrt{13} \approx 361\ \text{N}$$

A banca também deu a pontuação inteira para quem chegou a $100\sqrt{13}$ N pela lei dos cossenos.

⚠️ A armadilha: pôr o peso da placa no meio da haste (a 3 m de A), e não no meio da placa: no item (a) isso dá $T = 150$ N. No item (b), achar que a articulação só faz força vertical (100 N) ou só horizontal ($200\sqrt{3} \approx 346$ N): com o fio inclinado, ela tem as duas componentes.

A ideia em uma frase: momento em relação à articulação dá a tração sem precisar conhecer a força em A; depois, a soma das forças dá as componentes de A.

Resposta: (a) forças na haste: $\vec{F}_A$ (para cima, em A), $\vec{P}$ (300 N, para baixo, a 4 m de A) e $\vec{T}$ (para cima, na ponta); $T = 200$ N; (b) $F_A = 100\sqrt{13} \approx 361$ N (componentes $200\sqrt{3}$ N e 100 N).