UEM 2021 (PAS, etapa 3, Conhecimentos Específicos) — questão 31 de Física

Gabarito 11Física moderna — relatividade restrita: múons atmosféricos, dilatação do tempo e contração do espaçoPAS · etapa 3 · Conhecimentos Específicos de Física (somatória)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 31 de Física do UEM 2021 (PAS, etapa 3, Conhecimentos Específicos)

Enunciado em texto

Os múons são partículas subatômicas criadas pela interação de raios cósmicos vindos do espaço com a atmosfera terrestre. Por ser uma partícula instável, o múon decai rapidamente com um tempo de vida médio de aproximadamente 2,2×10−6s2{,}2 \times 10^{-6}\text{s} (tempo médio no referencial do múon). Considere que grande parte dos múons seja criada a uma altitude de 15km da superfície da Terra, com uma velocidade de aproximadamente 0,9998×c0{,}9998 \times c em relação a ela (cc é a velocidade da luz no vácuo). Considere c=3×108m/sc = 3 \times 10^8\text{m/s} e (0,9998)2≈0,9996(0{,}9998)^2 \approx 0{,}9996. Assinale o que for correto.

(01) As leis da mecânica que governam a dinâmica dos múons são idênticas em relação a qualquer referencial inercial.

(02) Como a velocidade do múon é próxima à da luz, ocorre uma contração do espaço na direção do movimento.

(04) A distância percorrida pelo múon, como medida em seu próprio referencial, é menor que 600m.

(08) O tempo de vida do múon, para um observador localizado na Terra, é maior que 100×10−6s100 \times 10^{-6}\text{s}.

(16) A distância percorrida pelo múon, para um observador localizado na Terra, não é suficiente para que a partícula seja detectada na superfície terrestre.

(Enunciado: PAS UEM 2021, etapa 3, Conhecimentos Específicos — UEM/CVU.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade Estadual de Maringá (UEM), Comissão Central do Vestibular Unificado (CVU).

Resolução comentada

O que a questão pede: aplicar a dilatação do tempo e a contração do comprimento ao múon criado a 15 km de altura.

Passo 1 — fator de Lorentz:

γ=11−v2/c2=11−0,9996\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}9996}}

γ=10,0004=10,02=50\gamma = \frac{1}{\sqrt{0{,}0004}} = \frac{1}{0{,}02} = 50

(01) Verdadeira. É o primeiro postulado da relatividade (princípio da relatividade): as leis da física têm a mesma forma em todos os referenciais inerciais.

(02) Verdadeira. No referencial do múon, a Terra e sua atmosfera se movem a quase cc, e as distâncias na direção do movimento ficam contraídas pelo fator γ\gamma.

(04) Falsa. No seu próprio referencial, o múon vive Δt0=2,2 μ\Delta t_0 = 2{,}2\ \mus, e a Terra passa por ele a 0,9998 c0{,}9998\,c. A distância correspondente ao seu tempo de vida, medida nesse referencial, é

d0=v Δt0d_0 = v\,\Delta t_0

d0≈3×108⋅2,2×10−6d_0 \approx 3 \times 10^8 \cdot 2{,}2 \times 10^{-6}

d0≈660 md_0 \approx 660\ \text{m}

mais que 600 m.

(08) Verdadeira. Para quem está na Terra, o tempo de vida se dilata:

Δt=γ Δt0=50⋅2,2×10−6\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 = 50 \cdot 2{,}2 \times 10^{-6}

Δt=110×10−6 s\Delta t = 110 \times 10^{-6}\ \text{s}

(16) Falsa. Na Terra, o múon vive 110 μs e, nesse tempo, pode percorrer

d=0,9998⋅3×108⋅110×10−6d = 0{,}9998 \cdot 3 \times 10^8 \cdot 110 \times 10^{-6}

d≈33 kmd \approx 33\ \text{km}

mais que os 15 km até o chão: ele chega à superfície e pode ser detectado (e de fato é).

Atenção: a (04) admite outra leitura. No referencial do múon, a camada de 15 km de atmosfera fica contraída para 15 000/50=30015\,000/50 = 300 m, e o solo chega até ele em cerca de 1 μs, antes de ele decair. Entendendo “distância percorrida” como esse trajeto real até a superfície, seriam 300 m, menos que 600 m, e a (04) seria verdadeira. A banca adotou a leitura da distância correspondente a um tempo de vida inteiro (660 m), paralela à da (16), que usa o tempo de vida medido na Terra.

⚠️ A armadilha: fazer a conta clássica, d=v Δt0≈660d = v\,\Delta t_0 \approx 660 m, e concluir que o múon não chega ao solo. É exatamente esse paradoxo que a relatividade resolve: na Terra o tempo de vida é 50 vezes maior; no múon, a distância é 50 vezes menor.

A ideia em uma frase: com γ = 50, a Terra vê o múon viver 50 vezes mais, e o múon vê a atmosfera 50 vezes mais fina: os dois concordam que ele chega ao chão.

Resposta: soma 11 (01 + 02 + 08).

Vídeo em breve

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