UEL 2011 — questão 47 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a equação $y(x)$ da trajetória, isto é, a altura do peso em função da distância horizontal, sem o tempo.

Passo 1 — decompor a velocidade inicial. Com o ângulo medido a partir da horizontal:

$$v_{0x} = v_0\cos\theta \qquad v_{0y} = v_0\,\text{sen}\,\theta$$

Passo 2 — horizontal: movimento uniforme. Desprezando o ar, nada acelera o peso na horizontal. Partindo de $x = 0$:

$$x = v_0\cos\theta \cdot t \;\Rightarrow\; t = \frac{x}{v_0\cos\theta}$$

Passo 3 — vertical: MUV com a = −g. Partindo de $y = h$, com a gravidade apontando para baixo (contra o eixo $y$):

$$y = h + v_0\,\text{sen}\,\theta \cdot t - \frac{g}{2}t^2$$

$$y = h + v_0\,\text{sen}\,\theta \cdot t - 5t^2$$

Passo 4 — eliminar o tempo. Troque $t$ pela expressão do passo 2:

$$v_0\,\text{sen}\,\theta \cdot \frac{x}{v_0\cos\theta} = \frac{\text{sen}\,\theta}{\cos\theta}\,x$$

$$5t^2 = \frac{5x^2}{v_0^2\cos^2\theta}$$

$$y = h + \frac{\text{sen}\,\theta}{\cos\theta}\,x - \frac{5x^2}{v_0^2\cos^2\theta}$$

Por que não as outras: (A) inverte seno e cosseno no termo do meio; (C) põe seno no denominador do termo de $x^2$, que vem do tempo horizontal (cosseno); (D) tem sinal + no termo da gravidade, o que daria uma parábola com a boca para cima; (E) esquece de dividir o seno pelo cosseno (o $v_0$ se cancela, mas o $\cos\theta$ fica).

⚠️ A armadilha: decompor ao contrário (seno na horizontal, cosseno na vertical) e cair na (A) ou na (C). Com o ângulo medido a partir da horizontal, a componente horizontal leva cosseno.

A ideia em uma frase: tira o tempo do movimento horizontal (uniforme) e substitui no vertical (MUV): sai $y = h + x\,\text{tg}\,\theta - \dfrac{g x^2}{2 v_0^2\cos^2\theta}$.

Resposta: alternativa B.