UEM 2019 (Inverno) — questão 30 de Física

Gabarito 23Eletrodinâmica — leis de Kirchhoff, nós, malhas e regra de Cramer (com Matemática)Vestibular de Inverno · Conhecimentos Gerais (somatória)

Enunciado da questão 30 de Física do UEM 2019 (Inverno) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Considere o circuito elétrico da figura abaixo, em que $E_1 > 0$ e $E_2 > 0$ representam as forças eletromotrizes de duas pilhas; $r_1 > 0$ e $r_2 > 0$ representam suas respectivas resistências internas; e $R > 0$ representa a resistência de um resistor.

[Figura: três ramos horizontais entre um fio vertical à esquerda (pontos A, C e E, de cima para baixo) e um fio vertical à direita (pontos B, D e F). Ramo de cima, de A a B: a pilha $E_1$ (traço longo à esquerda, curto à direita) e o resistor $r_1$ . Ramo do meio, de C a D: o resistor $R$ . Ramo de baixo, de E a F: a pilha $E_2$ (traço longo à esquerda, curto à direita) e o resistor $r_2$ .]

Percorrendo-se a malha ACDB no sentido anti-horário e a malha CDFE no sentido horário, conclui-se que:

$(R + r_1)\,i_1 + R\,i_2 = E_1$

$R\,i_1 + (R + r_2)\,i_2 = E_2$

em que $i_1$ é a corrente elétrica que passa por $r_1$ e $i_2$ é a corrente elétrica que passa por $r_2$ . Em relação a esse circuito elétrico e a esse sistema de equações, assinale o que for correto.

(01) Não é possível encontrar um circuito formado por uma única malha que seja equivalente a todos os aspectos do circuito dado.

(02) Somente os pontos C e D caracterizam os nós desse circuito.

(04) A lei das malhas está relacionada com o Princípio da Conservação da Energia.

(08) Utilizando a Regra de Cramer, conclui-se que $i_1 = \dfrac{\left|\genfrac{}{}{0pt}{}{R + r_1}{R}\ \ \genfrac{}{}{0pt}{}{R}{R + r_2}\right|}{\left|\genfrac{}{}{0pt}{}{E_1}{E_2}\ \ \genfrac{}{}{0pt}{}{R}{R + r_2}\right|}$ e $i_2 = \dfrac{\left|\genfrac{}{}{0pt}{}{R + r_1}{R}\ \ \genfrac{}{}{0pt}{}{R}{R + r_2}\right|}{\left|\genfrac{}{}{0pt}{}{R + r_1}{R}\ \ \genfrac{}{}{0pt}{}{E_1}{E_2}\right|}$ .

(16) O sistema de equações dado é sempre possível e determinado, independentemente dos valores de $E_1, E_2, r_1, r_2$ e $R$ , que satisfazem as condições expostas no comando da questão.

(Enunciado e figura: Vestibular UEM 2019 (Inverno) — UEM/CVU.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade Estadual de Maringá (UEM), Comissão Central do Vestibular Unificado (CVU).

Resolução comentada

O que a questão pede: julgar afirmações sobre o circuito de duas pilhas em paralelo com um resistor e sobre o sistema de equações das malhas.

(01) Verdadeira. Num circuito de uma única malha há uma só corrente. O circuito dado tem três correntes diferentes ( $i_1$ , $i_2$ e $i_1 + i_2$ em $R$ ), descritas por duas equações independentes. Dá para trocar as duas pilhas por um gerador equivalente e reproduzir a corrente e a tensão em $R$ , mas não, por exemplo, as correntes e as perdas em cada pilha: equivalente “em todos os aspectos”, não há.

(02) Verdadeira. Nó é um ponto onde se encontram três ou mais condutores. A, B, E e F são só cantos (dois fios cada); C e D unem três ramos.

(04) Verdadeira. A soma das variações de potencial ao longo de uma malha fechada é zero: a energia que cada carga ganha nos geradores ela perde nos resistores e receptores. É a conservação da energia aplicada ao circuito.

(08) Falsa. As frações estão invertidas. Pela regra de Cramer, o denominador é o determinante $D$ dos coeficientes, e o numerador é o determinante com a coluna da incógnita trocada pelos termos independentes:

$D = (R + r_1)(R + r_2) - R^2$

$i_1 = \frac{D_1}{D},\quad D_1 = E_1(R + r_2) - R\,E_2$

$i_2 = \frac{D_2}{D},\quad D_2 = (R + r_1)E_2 - R\,E_1$

(16) Verdadeira. Expandindo o determinante principal:

$D = R\,r_1 + R\,r_2 + r_1\,r_2$

Com $R$ , $r_1$ e $r_2$ positivos, $D > 0$ sempre: o sistema tem solução única (possível e determinado), quaisquer que sejam os valores.

⚠️ A armadilha: na (08), lembrar que o determinante principal aparece na regra de Cramer, mas colocá-lo no numerador. Ele vai sempre embaixo, e é por ser diferente de zero que a solução existe e é única.

A ideia em uma frase: lei das malhas é conservação de energia; e o sistema das malhas tem solução única porque o determinante, Rr₁ + Rr₂ + r₁r₂, nunca se anula.

Resposta: soma 23 (01 + 02 + 04 + 16).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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