PUC-PR 2018 — questão 34 de Física

Gabarito AOndas — efeito Doppler de uma fonte em movimento circularVestibular de Verão · Prova geral

Enunciado da questão 34 de Física do PUC-PR 2018 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Considere os dados a seguir.

Para estudar o efeito Doppler, dois amigos resolvem fazer um experimento num velódromo. Um deles pedala uma bicicleta na pista circular, cujo raio é R. Na bicicleta, estão acoplados um velocímetro, que indica uma velocidade de módulo constante v, e uma sirene, que emite um som de frequência constante $f_0$ . O outro, que permanece em repouso a uma distância do centro da pista igual a 2R, escuta o som da sirene com uma frequência aparente que varia de um valor máximo ( $f_{\text{máx}}$ ) a um valor mínimo ( $f_{\text{mín}}$ ). Considerando que os ouvidos do amigo que está em repouso e a trajetória da buzina estão num mesmo plano horizontal, o menor intervalo de tempo (Δt) entre a percepção de $f_{\text{máx}}$ e $f_{\text{mín}}$ , em função de v e R, é igual a

(A) $\dfrac{2\pi R}{3v}$

(B) $\dfrac{\pi R}{v}$

(D) $\dfrac{\pi R}{2v}$

(E) $\dfrac{3\pi R}{4v}$

(Enunciado: Vestibular PUCPR 2018 (Verão) — PUCPR.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR).

Resolução comentada

O que a questão pede: o menor tempo entre ouvir a frequência máxima e a mínima, com a sirene girando num círculo de raio R e o ouvinte parado a 2R do centro.

Passo 1 — quando a frequência é máxima ou mínima. No efeito Doppler, só conta a componente da velocidade da fonte na direção do ouvinte. Ela é máxima (aproximando) ou mínima (afastando) quando a velocidade aponta exatamente para o ouvinte ou para longe dele. Como a velocidade é tangente ao círculo, isso acontece nos dois pontos em que a reta até o ouvinte é tangente à pista.

Passo 2 — onde ficam esses pontos. No ponto de tangência T, o raio CT é perpendicular à reta TO (O é o ouvinte). No triângulo retângulo CTO, a hipotenusa é CO = 2R e o cateto é CT = R:

$\cos\varphi = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60^{\circ}$

Os dois pontos de tangência estão a 60° de cada lado da reta centro–ouvinte; entre eles há um arco de 120° (do lado do ouvinte) e outro de 240° (do lado oposto).

Passo 3 — o menor intervalo. Num ponto de tangência a fonte vem em direção ao ouvinte ( $f_{\text{máx}}$ ); no outro, ela se afasta ( $f_{\text{mín}}$ ). No sentido do movimento, ela vai de um ao outro pelo arco de 120° (e volta pelo de 240°). O menor tempo é o do arco de 120°, um terço da volta:

$\Delta t = \frac{1}{3} \times \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi R}{3v}$

E o tempo do som? Os dois pontos de tangência estão à mesma distância do ouvinte ( $\sqrt{3}R$ ), então o som leva o mesmo tempo para chegar a partir de cada um: o intervalo entre as percepções é o mesmo intervalo entre as emissões.

⚠️ A armadilha: pensar que o máximo e o mínimo acontecem nos pontos mais próximo e mais distante do ouvinte (meia volta, πR/v, alternativa B). Nesses pontos a velocidade é perpendicular à linha até o ouvinte e não há efeito Doppler: a frequência ouvida é a própria $f_0$ .

A ideia em uma frase: o Doppler é extremo quando a velocidade da fonte aponta direto para o ouvinte, ou seja, nos pontos de tangência vistos por ele.

Resposta: alternativa A ( $2\pi R/3v$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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