Einstein 2027 (discursiva) — questão 3 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a velocidade média nos 20 m iniciais da queda; (b) a velocidade no ponto em que a energia potencial (medida a partir da água) vale metade da cinética.

Item a — o tempo dos primeiros 20 m. A pedra parte do repouso em queda livre:

$$\Delta h = \frac{g\,t^2}{2}$$

$$20 = 5\,t^2 \;\Rightarrow\; t = 2\ \text{s}$$

A velocidade média é o deslocamento dividido pelo tempo:

$$v_m = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{20}{2} = 10\ \text{m/s}$$

Conferência: no MUV, a velocidade média é a média das velocidades extremas. Em t = 2 s a pedra está a $v = g\,t = 20$ m/s; então $v_m = (0 + 20)/2 = 10$ m/s.

Item b — conservação da energia mecânica. Sem resistência do ar, a energia mecânica fica constante. Tomando a água como nível zero, no início ela é toda potencial:

$$E = m\,g\,H = m \times 10 \times 30 = 300\,m$$

No ponto pedido, a pedra está a uma altura h com $E_p = \dfrac{E_c}{2}$, ou seja, $E_c = 2\,E_p$. Então:

$$E = E_p + E_c = 3\,E_p$$

$$3\,m\,g\,h = m\,g\,H$$

$$h = \frac{H}{3} = 10\ \text{m}$$

A velocidade nesse ponto: a cinética é o dobro da potencial,

$$\frac{m\,v^2}{2} = 2\,m\,g\,h$$

$$v^2 = 4\,g\,h = 4 \times 10 \times 10 = 400$$

$$v = 20\ \text{m/s}$$

Conferência por Torricelli: até h = 10 m a pedra caiu 20 m, e $v^2 = 2 \times 10 \times 20 = 400$, v = 20 m/s. (Coincide com o fim do item a: a pedra passa por esse ponto exatamente em t = 2 s.)

⚠️ A armadilha: no item a, usar a velocidade final dos 20 m (20 m/s) como se fosse a média. No item b, inverter a relação e impor $E_c = E_p/2$: daria h = 20 m e $v = \sqrt{200} \approx 14$ m/s, que é a resposta de outra pergunta.

A ideia em uma frase: velocidade média é deslocamento sobre tempo; e, sem atrito, se a cinética é o dobro da potencial, a potencial é um terço da energia total.

Resposta: (a) $v_m = 10$ m/s; (b) $v = 20$ m/s (a pedra está a 10 m da água).