Einstein 2016 (discursiva) — questão 1 de Física

DiscursivaMagnetismo — campo no centro de uma bobina chata (razão entre números de espiras)Enfermagem e Medicina · Questão discursiva de Física e Matemática (aplicação PUC-SP)

Gabarito oficial ainda não divulgado. A banca não divulgou padrão de resposta (critérios de correção) para esta questão discursiva. A resposta é do Professor Filatte, obtida resolvendo a questão; se a banca vier a publicar os critérios, conferimos e corrigimos aqui o que divergir.

Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 1 de Física do Einstein 2016 (discursiva)

Enunciado em texto

Física & Matemática — Custo e manutenção dos aparelhos de imagem encarecem exames

É inegável que a evolução da medicina diagnóstica permitiu avanços sem precedentes na prevenção e tratamento de vários tipos de doenças. Se por um lado a tecnologia propiciou fidelidade cada vez maior nas imagens obtidas do interior do corpo humano, por outro ela também cobra o seu preço. Um exame de ressonância magnética, por exemplo, pode chegar a R$ 1 200,00 em média, se for feito sem material para contraste, e R$ 1 800,00 se essa substância para contraste for utilizada.

[Figura: fotografia de um aparelho de ressonância magnética — um grande anel (o tubo do magneto) com a maca do paciente à frente. Fonte: http://ressonanciamagnetica.cepem.med.br/]

A ressonância nuclear magnética, ou simplesmente ressonância magnética, é um método de diagnóstico por imagem que usa ondas de radiofrequência e um forte campo magnético para obter informações detalhadas dos órgãos e tecidos internos do corpo, sem a utilização de radiação ionizante. Esta técnica provou ser muito valiosa para o diagnóstico de uma ampla gama de condições clínicas em todas as partes do corpo. O aparelho em que o exame é feito consta de um tubo circundado por um grande eletroímã, no interior do qual é produzido um potente campo magnético.

Na técnica de ressonância magnética aplicada à medicina trabalha-se principalmente com as propriedades magnéticas do núcleo de hidrogênio, que é o menor núcleo que existe e consta de apenas um próton.

O paciente a ser examinado é colocado dentro de um campo magnético intenso, o qual pode variar de 0,2 a 3,0 teslas, dependendo do aparelho. Esse campo magnético externo é gerado pela elevada intensidade de corrente elétrica circulando por uma bobina supercondutora que precisa ser continuamente refrigerada a uma temperatura de 4K (Kelvin), por meio de hélio líquido, a fim de manter as características supercondutoras do magneto.

(Disponível em: http://www.famerp.br/projis/grp25/ressonancia.html. Adaptado.)

Um dos motivos para os altos valores cobrados por exames de imagem sofisticados é o alto custo desses aparelhos, dos custos de instalação e manutenção do equipamento, além da exigência de mão-de-obra extremamente qualificada para operá-los.

Um equipamento de ressonância magnética, por exemplo, pode custar de US$\$ 2 milhões a US$\$ 3,5 milhões, dependendo da sua capacidade. Além disso, há um adicional anual de cerca de R$ 2 milhões em manutenção, incluindo o custeio de procedimentos para arrefecer as bobinas magnéticas da máquina.

(Disponível em: http://glo.bo/19JB2sB. Adaptado.)

1. Admita que um determinado hospital adquira um aparelho de ressonância magnética pela média dos preços propostos no texto, e que sua manutenção citada seja anual. Calcule o tempo necessário, em anos, para que o investimento no aparelho, incluindo o seu custo de manutenção, seja coberto pela receita obtida com os exames realizados.

Considere 10 exames diários a preços normais de R$1 800,00, meses de 30 dias e 1 US$\$ = R$ 4,00

2. Nas proximidades da superfície da Terra, a intensidade média do campo magnético é de 5⋅10−55 \cdot 10^{-5} T e, conforme o texto informa, a intensidade do campo magnético produzido por alguns aparelhos de ressonância magnética pode chegar a 3T. Considere, por hipótese, esses campos magnéticos uniformes e produzidos por duas bobinas chatas distintas, de raios iguais a 1m para o aparelho e RTR_T (raio da Terra) para a bobina da Terra; cada uma delas composta por espiras justapostas; percorridas pela mesma intensidade de corrente elétrica e mesma permeabilidade magnética do meio.

Determine a razão (NTerraNaparelho)\left(\dfrac{N_{Terra}}{N_{aparelho}}\right) entre o número de espiras das bobinas chatas da Terra e do aparelho, respectivamente. Para simplificar os cálculos, adote o raio da Terra igual a 6 000 km.

(Enunciado e figura: Vestibular Einstein 2016, prova discursiva — Einstein/PUC-SP.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Faculdade Israelita de Ciências da Saúde Albert Einstein e à Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP).

Resolução comentada

O que a questão pede: são dois itens. O item 1 é de Matemática (quanto tempo a receita dos exames leva para pagar a compra mais a manutenção anual). O item 2 é de Física: a razão entre os números de espiras de duas bobinas chatas que produzem os campos da Terra e do aparelho.

Item 1 — o custo de compra. A média dos preços do texto, em milhões de dólares, convertida para reais (1 US$\$ = R$ 4,00), dá R$ 11 milhões:

2+3,52=2,75 milho˜es\frac{2 + 3{,}5}{2} = 2{,}75\ \text{milhões}

2,75×4=11 milho˜es2{,}75 \times 4 = 11\ \text{milhões}

A receita por ano: 10 exames por dia a R$ 1 800,00 dão R$ 18 000,00 por dia; com 30 dias por mês e 12 meses por ano (360 dias), são R$ 6,48 milhões por ano:

10×1 800=18 00010 \times 1\,800 = 18\,000

18 000×360=6 480 00018\,000 \times 360 = 6\,480\,000

A conta do "empate". Depois de t anos, o hospital terá gasto a compra mais t manutenções de R$ 2 milhões, e terá recebido 6,48 milhões por ano. A receita cobre o investimento quando as duas coisas se igualam (valores em milhões de reais):

11+2 t=6,48 t11 + 2\,t = 6{,}48\,t

4,48 t=114{,}48\,t = 11

t=114,48≈2,46 anost = \frac{11}{4{,}48} \approx 2{,}46\ \text{anos}

Ou seja, cerca de 2 anos e meio (2 anos e uns 5 meses e meio). Repare que, na prática, o lucro líquido de cada ano é 6,48 − 2 = 4,48 milhões, e é ele que paga os 11 milhões da compra.

Item 2 — o campo no centro de uma bobina chata. Para uma bobina chata de N espiras justapostas, raio R e corrente i, o campo no centro vale:

B=μ N i2 RB = \frac{\mu\,N\,i}{2\,R}

Isolando N: como as duas bobinas têm a mesma corrente e o mesmo meio (mesmo μ\mu), o número de espiras é proporcional ao produto B⋅RB \cdot R:

N=2 R Bμ iN = \frac{2\,R\,B}{\mu\,i}

NTerraNap=BT RTBap Rap\frac{N_{Terra}}{N_{ap}} = \frac{B_T\,R_T}{B_{ap}\,R_{ap}}

Substituindo no SI, com RT=6 000R_T = 6\,000 km =6⋅106= 6 \cdot 10^{6} m e Rap=1R_{ap} = 1 m:

BT RT=5⋅10−5⋅6⋅106B_T\,R_T = 5 \cdot 10^{-5} \cdot 6 \cdot 10^{6}

BT RT=300 T⋅mB_T\,R_T = 300\ \text{T}\cdot\text{m}

Bap Rap=3 T⋅mB_{ap}\,R_{ap} = 3\ \text{T}\cdot\text{m}

NTerraNap=3003=100\frac{N_{Terra}}{N_{ap}} = \frac{300}{3} = 100

Faz sentido: o campo da "bobina da Terra" é 60 000 vezes mais fraco, mas o raio dela é 6 milhões de vezes maior. Como o campo cai com o raio, ela precisa de 100 vezes mais espiras.

⚠️ A armadilha: no item 1, esquecer a manutenção (daria 11/6,48≈1,711/6{,}48 \approx 1{,}7 ano) ou usar o preço do exame sem contraste (R$ 1 200,00), que não é o preço pedido. No item 2, esquecer de converter o raio da Terra para metros: com 6 000 "km" no lugar de 6⋅1066 \cdot 10^{6} m, a razão sairia 1 000 vezes menor (0,1).

A ideia em uma frase: no centro de uma bobina chata o campo é proporcional a N/R, então, com a mesma corrente, o número de espiras é proporcional a B·R.

Resposta: (1) t≈2,46t \approx 2{,}46 anos (cerca de 2 anos e meio); (2) NTerra/Naparelho=100N_{Terra}/N_{aparelho} = 100.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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